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Uma questão de paridade

Por Thiago Moza Pinheiro

Determine todas os valores inteiros de a e b, tais que:

a.b.(a – b) = 4095

Solução

Sabemos que um número inteiro é necessariamente par ou ímpar.

Vamos analisar as combinações dessas paridades para a e b.

Caso 1: a e b são pares

Nesse caso o produto a.b.(a – b) será um número par, jamais podendo ser igual a 4095 que é um número ímpar.

Caso 2: a é par e b é ímpar ou vice-versa

Novamente o produto a.b.(a – b) será par, não podendo ser igual a 4095.

Caso 3: a e b são ímpares

Nesse caso, basta ver que a – b será um número par, portanto o produto a.b.(a – b) será de novo par, sendo portanto incapaz de se igualar a 4095.

Conclui-se com isso que não existem números a e b inteiros tais que a.b.(a – b)  = 4095.

Comentários

Esse tipo de questão costuma arrancar os cabelos de vários alunos. Exercícios que apresentam mais incógnitas do que equações geralmente sugerem uma abordagem mais aritmética para serem resolvidos. Boa questão!

 
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Publicado por em 27 de agosto de 2013 em Aritmética

 

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Comentários EFOMM 13/14 – Matemática

A prova de matemática da EFOMM desse ano foi realmente muito bem feita.

Abordou praticamente todos os assuntos estudados no ensino médio, apresentando questões de bom nível técnico que exigiam real preparo dos candidatos.

Sentimos falta de alguns assuntos como logaritmos e binômio de Newton, mas nada que desmereça o brilho dessa prova.

Lamentamos pelas questões 15 e 20 que infelizmente possuíam mais de uma resposta.

Destacam-se certamente as questões 1, 18 e 19 como as melhores da prova!

No mais, parabéns a banca da EFOMM pelo belo vestibular de matemática apresentado.

Solução, sua melhor ideia!

EFOMM

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 2013-2014

 

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Questão 1 – Tronco de Pirâmide

EFOMM 2013 – 2014

Resolução Prova de Matemática (Amarela)

1. A área lateral de um tronco de pirâmide triangular regular cujas bases tem áreas 25√3 cm² e 4√3 cm² e altura 4 cm é, em cm²

Imagem1

Solução

Vamos encontrar as arestas da base da pirâmide usando o fato de que são triângulos equiláteros, podendo sua área ser expressa por: L²√3/4.

b = 4 cm e B = 10 cm

Sabendo que a altura do tronco é 4 cm, podemos achar as alturas das pirâmides com bases b e B.

Seja x a altura da pirâmide com base b.

x/(x + 4) = 4/10 → x/(x + 4) = 2/5 → 2x + 8 = 5x → x = 8/3 cm. Logo a altura da pirâmide de base B será:

H = 8/3 + 4 = 20/3 cm

Usando o teorema de Pitágoras podemos calcular a medida da altura do triângulo que compõe o lado da pirâmide de base B. Para tal, veja que a altura da pirâmide encontra sua base sobre o baricentro (pois a pirâmide é regular), logo a distância desse ponto até a aresta de medida B vale 1/3 da altura do triângulo da base que é 5/√3 cm.

Com isso teremos: 400/9 + 25/3 = h² → h² = 475/9 → h = 5√19/3

Para achar a altura do trapézio que determina a face lateral do tronco de pirâmide podemos usar novamente a proporção entre os segmentos.

6/10 = y/5√10/3 → y = √19 cm

Já que as faces do tronco são trapézios, a área lateral total poderá ser calculada como o triplo da área de um dos trapézios.

A = 3.(B + b).y/2

A = 21√19 cm²

Letra D.

Comentários

Ufa! Uma questão bastante extensa e trabalhosa totalmente destoante das demais questões do concurso. Essa certamente foi uma das questões mais difíceis da prova desse ano, senão a mais difícil. Excelente questão!

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 13/14 - Matemática

 

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Questão 2 – Sistema de Inequações

EFOMM 2013 – 2014

Resolução Prova de Matemática (Amarela)

2. A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2 cm. Se a sua área é menor ou igual a 35 cm², então o valor de x, em cm, será:

Solução

Equacionando as informações dadas:

x – y = 2 e xy ≤ 35

Daqui teremos: x(x – 2) ≤ 35 → x² – 2x – 35 ≤ 0 → -5 ≤ x ≤ 7

Além disso, como x e y são lados de um retângulo, necessariamente ambos serão números naturais.

Portanto, x – 2 > 0 → x > 2

Fazendo a interseção dos intervalos teremos: 2 < x ≤ 7

Letra D.

Comentários

Mais uma questão clássica de sistemas envolvendo dessa vez inequações.

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 13/14 - Matemática

 

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Questão 3 – Crescimento Integral

EFOMM 2013 – 2014

Resolução Prova de Matemática (Amarela)

3.Uma pesquisa indica a taxa de crescimento populacional de uma cidade através da função P(x) = 117 + 200x, por pessoas anualmente há x anos. Passados 10 anos, o crescimento é dado pela integral

0∫¹° (117+200x)dx. Pode-se afirmar que esse crescimento será de:

Solução

Calculando a integral dada teremos:

117(10 – 0) + 200(10²/2 – 0²/2) = 1170 + 10000 = 11170 pessoas

Letra B.

Comentário

Resolução simples, sem nada de inovador com relação as questões de integral usuais.

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 13/14 - Matemática

 

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Questão 4 – Relações de Girard

EFOMM 2013 – 2014

Resolução Prova de Matemática (Amarela)

4. O valor da soma de a e b, para que a divisão de f(x) = x³ + ax + b por g(x) = 2x² + 2x – 6 seja exata, é:

Solução

Usando as relações de Girard no polinômio f(x) podemos ver que a soma de suas raízes é igual a zero.

Como a divisão de f(x) por g(x) deve ser exata então as duas raízes de g(x) também devem ser raízes de f(x).

Sejam m e n as duas raízes de g(x) e k a terceira raiz de f(x).

 m + n + k = 0 → k = -(m + n)

Usando as relações de soma e produto em g(x) teremos: m + n = -2/2 = -1

Portanto, k = -(-1) = 1. Como k é raiz de f(x) podemos escrever:

 f(1) = 1 + a + b = 0 → a + b = -1

Letra A.

Comentários

Uma questão tradicional de polinômios que envolvia noções sobre o algoritmo da divisão polinomial de Euclides e das famosas relações de Girard. 

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 13/14 - Matemática

 

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Questão 5 – Tangentes: entre somas e produtos

EFOMM 2013 – 2014

Resolução Prova de Matemática (Amarela)

5. Seja x no intervalo [0, 2π] tal que senx.cosx = 1/5. Então, o produto P e a soma S de todos os possíveis valores  de tgx são, aproximadamente:

Solução

Podemos claramente ver que cosx = 0 não é solução da equação portanto, podemos dividir os lados da igualdade por cos²x.

senx.cosx = 1/5 → senx/cosx = 1/5cos²x → 5tgx = sec²x = tg²x + 1 → tg²x – 5tgx + 1 = 0

Pelas relações de soma e produto: S = 5 e P = 1

Letra B.

Comentários

Ótima questão, uma das mais interessantes da prova. Vários candidatos adotaram caminhos longos e tentaram de fato achar as raízes da equação trigonométrica. Boa questão!

 
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Publicado por em 23 de agosto de 2013 em EFOMM 13/14 - Matemática

 

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